為什么我們要學數(shù)學？

文 |?胡嘉寧

學院君說：關(guān)于數(shù)學學習，過去我們曾經(jīng)分享過許多文章，其中就包括一個爸爸向孩子解釋關(guān)于學習數(shù)學的一些問題,今天我們分享的是一個年僅16歲的高中生，他眼中對于數(shù)學學習的理解，希望對大家有所啟發(fā)。

*本文均為他本人所寫，未做刪減。

如果有人不相信數(shù)學是簡單的,那是因為他們沒有意識到人生有多復雜。

——馮?諾依曼

著名數(shù)學家、物理學家

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諾貝爾為什么沒有數(shù)學獎？

諾貝爾曾有一個比他小13歲的女友，后來他的女友和一個數(shù)學家私奔了，諾貝爾對此事一直耿耿于懷，后來一生未曾結(jié)婚，所以不設(shè)數(shù)學獎。——這只是個傳聞。

真正的原因是：在諾貝爾那個時代，數(shù)學還不是主要的學科，數(shù)學還沒有得到重大的發(fā)展。

1950年，納什在28頁的博士論文中提出一個重要概念：“納什均衡”，成為博弈論的重要突破。1994年，他和其他兩位博弈論學家共同獲得了諾貝爾經(jīng)濟學獎。

納什最重要的數(shù)學成就是在微分幾何和偏微分方程的領(lǐng)域，一位著名幾何學家評價到：“他在幾何學所做的，從我看來，比起他在經(jīng)濟學所做的無可比擬地偉大得多，相差很多個數(shù)量級?！?/span>

諾貝爾經(jīng)濟學獎從1969年至2010年，共34屆,獲獎者51人，除了哈耶克，幾乎全都用到了數(shù)學工具；一半以上獲獎者有深厚數(shù)學功底，還有少數(shù)本身就是數(shù)學家。

大部分諾貝爾物理學獎、化學獎、醫(yī)學獎得主也有著數(shù)學功底。

現(xiàn)在數(shù)學被稱為“科學之王”。

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學校里的大部分數(shù)學知識

其實都沒有用

首先我們得承認，我們在學校里學到的大部分數(shù)學知識，其實都是沒有用的?；叵胍幌履愕纳?，你買菜的時候真的用上一元二次方程了嗎？你這輩子有幾次用到了余切函數(shù)和微積分呢？

我國的數(shù)學教學方法也有很大的問題。如陳方正在《繼承與叛逆：現(xiàn)代科學為何出現(xiàn)于西方》中所言：

中國與西方數(shù)學的根本差別，即前者只重程序（即所謂‘法’），而不講究直接、詳細、明確的證明（即所謂‘義’）

雜志《新科學家》中有一句話：

Mathematics is a discovery rather than an invention

數(shù)學不是發(fā)明而是發(fā)現(xiàn)

數(shù)學家惲之瑋在一次采訪中說：

奧數(shù)的答案是知道的，數(shù)學科研的答案是不知道的，是探索的過程。真正的數(shù)學并不是在規(guī)定的時間快速給出答案。

2005年，溫家寶總理在看望錢學森的時候，錢老感慨說：“這么多年培養(yǎng)的學生，還沒有哪一個的學術(shù)成就，能夠跟民國時期培養(yǎng)的大師相比。”錢老又發(fā)問：“為什么我們的學?？偸桥囵B(yǎng)不出杰出的人才？”

被認作中國十大國際友人的英國人李約瑟，他所提出的“李約瑟難題”，從開始至現(xiàn)在，由中國到世界，都充滿了爭論。其主題是：“盡管中國古代對人類科技發(fā)展做出了很多重要貢獻，但為什么科學和工業(yè)革命沒有在近代的中國發(fā)生？”

錢學森之問與李約瑟難題一脈相承，都是對中國科學的關(guān)懷。

學了也用不到

為什么要學數(shù)學呢

數(shù)學是一種語言，數(shù)學符號于數(shù)學家就相當于代碼于程序員。

倫敦大學的計算神經(jīng)科學家和物理學家卡爾?弗里斯頓說：

數(shù)學具備簡潔、直接和齊整的特性，所以如果你把它看作一種語言的話，它比其他任何語言都更適合用來描述這個世界。

從海豚到菌類生物，在進化的過程中，都在用數(shù)學的方式理解這個世界，解讀它的規(guī)則和邏輯，以便自己能夠存活下來。

數(shù)學家斯坦尼斯拉斯?德阿納，做了一個實驗，他邀請15個職業(yè)數(shù)學家和15個非數(shù)學領(lǐng)域的學者，邊思考問題，邊接受腦部掃描，然后他發(fā)現(xiàn)，當數(shù)學們思考數(shù)學問題的時候，他們腦部的某些區(qū)域是有特殊連接的。

也就是說，數(shù)學家一旦學會了數(shù)學的符號語言之后，就不會用普通的語言去思考數(shù)學問題了。

舉個簡單的例子：老板對你說：“你這周遲到很多！”，你心里肯定想：媽的，我這周就遲到3次，哪有很多呀，小張也遲到3次呀！

“很多”和“3”，定性和定量的分野。普通人眼里的機會，在數(shù)學眼里是概率。

這里所謂的“語言”只是個類比，哈佛認知科學家戴維?帕金斯稱其為思維程序（Mindware），Kenneth Craik稱其為心智模式（Mental Model），查理芒格稱其為思維模型（Thinking Model）

而我們大部分人的工作與數(shù)學無關(guān)，所以什么樣的數(shù)學知識可以幫助我們呢？

數(shù)學知識的四個象限

著名數(shù)學家喬丹?艾倫伯格把數(shù)學知識分成了四個象限：

1、在簡單-淺顯這個象限，我們有1+2=3這樣比較基礎(chǔ)的算術(shù)題，內(nèi)容也不那么深奧。還比如三角函數(shù)sin2x=2sinxcosx，這些數(shù)學知識看起來復雜，但它們在概念上并沒有多大的理解難度。

2、在復雜-淺顯這個象限，我們有兩位數(shù)的乘法、復雜定積分的運算。如果有了計算機，你其實并不需要耗費時間計算那么多位乘法運算，我們在學校要花費大量的時間學習解題技巧，其實對于理解數(shù)學的美并沒有幫助。

相反可能還讓我們對數(shù)學倒了胃口。即使解決了這些問題，我們也不會因此更加了解我們所在的這個世界。

2、在復雜-深奧這個象限，則是專業(yè)從事數(shù)學研究的人需要投入大量時間的地方。這里有眾多大名鼎鼎的定理和猜想，黎曼假設(shè)，費馬大定理，龐加萊猜想，哥德爾定理等。

這些定理內(nèi)涵豐富，具有重要的意義，表現(xiàn)出令人窒息的美感，這些定理殘酷無情又無懈可擊，人們圍繞他們寫就了一本本專著。我等普通人可能只能在門口瞄一眼，里面的世界我們根本不清楚。

前三個象限的數(shù)學知識對我們來說或者太容易，或者太難，或者太繁瑣，都不需要我們特別留意。

最值得學習的是簡單-深奧這個象限的數(shù)學知識。這些知識都是入門的知識，但卻違反了我們的直覺，需要我們更縝密的推理，如對隨機性的理解、對回歸4的理解等。

這些數(shù)學思想都與我們的生活產(chǎn)生直接聯(lián)系，為我們帶來益處，其應用將遠遠突破我們的數(shù)學的既有理解，它們是常備工具，只要應用得當，就可以避免我們犯錯。

吳軍博士在《數(shù)學之美》中這樣描述：

牛頓曾經(jīng)說過，“真理在形式上從來都是簡單的，而不是復雜和含混不清的”，數(shù)學之美也體現(xiàn)在這里。如果你能拿數(shù)學工具來解決問題，那么不管你的方法多復雜，這里面的基本思想都應格是簡單的。

查理芒格也說過：

最好且最實用的智慧是最基本的學術(shù)智慧，但有一個相當重要的前提：必須從多元學科的角度來思考。

在生活中應時常運用大學一年級基礎(chǔ)學科中所有易學好懂的概念，如果達到自如運用的境界，就能提出解決問題的多種方法。

數(shù)學是認識世界的思考工具

克勞塞維茨說過：“數(shù)學就是常識的衍生物?！?/span>

數(shù)學如果脫離了常識的幫助，就變成了循規(guī)蹈矩地生搬書本知識，不會產(chǎn)生任何有益的結(jié)果。

正如1947年馮·諾依曼在他的論文《數(shù)學家》（The Mathematician）中發(fā)出的警告：

如果數(shù)學這門學科逐步偏離現(xiàn)實生活的經(jīng)驗，并且漸行漸遠，以至于第二代和第三代數(shù)學人無法在“現(xiàn)實生活”中萌生某種想法并直接受到啟迪，那么我們將面非常嚴重的威脅。

它會在唯美的道路上越走越遠，演變成“為了藝術(shù)而藝術(shù)”，如果周圍的相關(guān)學科仍然與經(jīng)驗有著密切的聯(lián)系，或者某位鑒賞能力超強的人可以對數(shù)學產(chǎn)生影響，那么發(fā)生這種情況未必是件壞事。

但是數(shù)學這種發(fā)展勢頭幾乎沒有受到任何阻力，而且在偏離經(jīng)驗的過程中，分解成多個不起眼的分支，最終局面有可能是變得支離破碎、雜亂無章，這相當危險。

換句話說，在遠離經(jīng)驗的哺乳，或者說“抽象研究”大量“近親繁殖”之后，數(shù)學將面臨墮落的危險。

很多人恐懼數(shù)學是因為被學校的那些數(shù)學題打蒙了。但不要把應試數(shù)學和應用數(shù)學思想混為一談，在真實世界中，用數(shù)學思想思考問題，絕大多數(shù)情況下用不到復雜的計算技能。

就認識世界而言，數(shù)學應是一個思考工具，表達工具，而不是計算工具。

如保羅·洛克哈特在《一個數(shù)學家的嘆息》中所言：

數(shù)學的本質(zhì)是表達的藝術(shù)。數(shù)學是在我們并不完美的生活基礎(chǔ)上，一種抽象的完美的表達方式，而我們在不完美的世界中，想要應用數(shù)學公式時發(fā)現(xiàn)對不上號，便不會去用了。

伯特蘭·羅素在《數(shù)學研究》中說:

學習數(shù)學的精髓時，不能只抱著應付差事的心理，而應該把這些知識融入日常思維，并通過各種激勵手段，使它們反復出現(xiàn)在你的腦海里。

亞伯拉罕?瓦爾德(Abraham Wald)的一個故事能精彩地演繹這個過程：

在第二次世界大戰(zhàn)期間，美國軍方在哥倫比亞大學建立了一個秘密研究小組，叫統(tǒng)計研究小組，它的任務是組織美國的統(tǒng)計學家為打贏二戰(zhàn)服務。小組中牛人無數(shù)，但是天賦最高是一位叫亞伯拉罕?瓦爾德的數(shù)學家。

這時候問題來了，美國軍方為了不讓自己的飛機被敵人的戰(zhàn)斗機擊落，需要給飛機裝上裝甲。但是裝甲會增加飛機的重量，這樣飛機的機動性就會減弱，還會消耗更多的燃油。所以，問題就是，怎樣在防御性能和飛行性能之間找一個平衡點，在哪里加強裝甲防護是最合適的。

軍方為數(shù)學家提供了很多數(shù)據(jù)，美軍飛機跟敵機交火后會留下很多彈孔。軍方發(fā)現(xiàn)機身上的彈孔比引擎上的彈孔更多。因此，軍方認為，最應該加強防御的是飛機的機身。

瓦爾德給出的答案與軍方的想法大不一樣。瓦爾德認為，需要加裝甲的地方不應該是彈孔多的部位，而是彈孔少的部位，也就是飛機的引擎。

為什么會是這樣的呢？從理論上講，飛機各個部位中彈的概率是一樣的。那么為什么返航的飛機身上的彈孔比引擎上的彈孔更多呢？也就是說，引擎上本來應該有的彈孔去哪兒了？

瓦爾德認為，這是因為引擎被擊中的飛機都墜毀了，回來的飛機，機身上盡管留下了很多彈孔，卻仍然能經(jīng)住打擊，所以才能安全回航。

數(shù)學家將其稱之為“幸存者偏差”，也就是說，你只看到幸存下來的，卻沒有看到那些已經(jīng)死亡的。

瓦爾德運用這些簡單-深奧的數(shù)學知識，就像戴上一副X射線眼鏡通過現(xiàn)實世界錯綜復雜的表面現(xiàn)象看清本質(zhì)。

數(shù)學是為了人類自身

的生存而發(fā)展出的能力

自然界是復雜而充滿未知的。我們周圍的環(huán)境變化莫測：什么時候會被襲擊，什么時候去捕獵，遇到危險怎樣找到最快的路徑逃跑？哪里最有可能找到食物？

其實我們無時無刻都在用數(shù)學計算，只不過有時是不自知的。比如你在開車的時候，大腦就進行了非常復雜的數(shù)學計算。我們用數(shù)學來預測自己可能會遇到什么，再通過跟現(xiàn)實的碰撞，不停的修正，重新預測。

數(shù)學的運算模式可以幫助我們在物理世界活下來，但這并不意味著發(fā)生在我們腦海里的計算一直是對的。

基思?斯坦諾維奇與其長期合作者理查德?韋斯特提出了著名的“雙系統(tǒng)理論”：

1、系統(tǒng)1就像大腦的自動反應模式，系統(tǒng)1的運行是無意識且快速的，不怎么費腦力，沒有感覺，完全處于主控制狀態(tài)。

2、系統(tǒng)2將注意力轉(zhuǎn)到需要費腦力的大腦活動上來，例如復雜的計算，理性思考，系統(tǒng)2的運行通常與行為、選擇和專注等主觀體驗相關(guān)聯(lián)。

人大部分時間都在使用系統(tǒng)1思考，很少使用系統(tǒng)2思考。

蕭伯納說：大多數(shù)人，每年最多思考兩三次。

300年前，在著名的南海泡沫事件中，人類有史以來最聰明的天才之一，牛頓，虧掉了兩萬英鎊，據(jù)說相當于現(xiàn)在的一億美金。

牛頓曾因而感嘆：“我能算準天體的運行，卻無法預測人類的瘋狂?！?/span>

數(shù)學鍛煉的就是用系統(tǒng)2思考的能力，用理性來審視世界。

查理?芒格說：

如果你沒有把這些基本的，但有些不那么自然的基礎(chǔ)數(shù)學概率方法變成你生活的一部分，那么在漫長人生中，你們將會像一個踢屁股比賽中的獨腿人。

讓我們來做一道題感受一下：

假設(shè)有一個女性叫琳達（Linda），31歲，單身，一位直率又聰明的女性，主修哲學。在學生時代，他對歧視問題和社會公正問題較為關(guān)心，還參加了反核示威游行。

請你根據(jù)這些情況，評估一下對琳達的種種描述之中，各自的可能性大小，并給排個名：

1、琳達是個小學老師

2、琳達在書店工作，她還在學瑜伽

3、琳達積極參加女權(quán)運動

4、琳達是婦女選民聯(lián)盟成員

5、琳達是銀行出納

6、琳達是保險推銷員

7、琳達是銀行出納，還積極參與女權(quán)運動。

我對你的具體排序并不太感興趣，我關(guān)心的是以下兩個選項是如何排列的：

（5）琳達是銀行出納

（7）琳達是銀行出納，還積極參與女權(quán)運動

實驗結(jié)果是：幾乎所有受試者都認為“琳達是銀行出納，還積極參與女權(quán)運動”的可能性比“琳達是個銀行出納員”要高。

對于任何概率，同等情況下條件越多概率越小。他們都忽略了概率中集合論的基本問題：兩個集的交集不可能大于其中任何一個集。

這個就是著名的“琳達問題”，如果你答錯了，也不要自責，斯坦福大學決策科學專業(yè)的博士研究生，也有85%的人答錯。

再來一題（來自《黑天鵝》）：

塔勒布在投資研討會說：“我相信下個星期市場略微上漲的概率很高，上漲概率大概70%。”但他卻大量賣空標準普爾500指數(shù)期貨，賭市場會下跌。

他的意見是：市場上漲的可能性比較高（我看好后市），但最好是賣空（我看壞結(jié)果），因為萬一市場下跌，它可能跌幅很大。

分析如下：假使下個星期市場有70%的概率上漲，30%的概率下跌。但是如果上漲只會漲1%，下跌則可能跌10%。未來預期結(jié)果是：70%×1%+30%×（-10%）=-2.3%，因此應該賭跌，賣空股票盈利的機會更大。

如芒格所言，巴菲特每天做的，都是算這個簡單數(shù)學問題。與其說是一種數(shù)學能力，不如說是一種思維模式。知道容易，做到極難。

概率有時候顯得“反直覺”。

堅信概率，堅持按照優(yōu)勢概率下注，哪怕違反直覺，哪怕屢屢受挫也不更改人生下注的原則，這就是贏家的秘密。

數(shù)學教會我們的一個基本道理：用理性戰(zhàn)勝本能！

克萊因說：數(shù)學是一種理性的精神，使人類的思維得以運用到最完美的程度。

舊石器時代的智人學會了利用石頭工具，軸心時代的新人類學會了一種理性工具。數(shù)學工具就好比舊石器時代的石頭工具。

有一次，我在網(wǎng)上看到一個問題大概是“有哪些讓你感嘆「寫出這種句子的人，我十輩子都追不上了」的句子？”。

我想起了約翰·納什的那句話：

“從精神病人回歸為一個理性人的快樂，和身體有病然后恢復健康的快樂還是不能相比的?！?/span>

數(shù)學其實很簡單

馮?諾依曼說：

“如果有人不相信數(shù)學是簡單的,那是因為他們沒有意識到人生有多復雜”

美劇《疑犯追蹤》中有一位學生問芬奇:”學這些東西有什么用？我們什么時候會用到它？”

芬奇答道：

π，圓周長與其直徑之比，這是開始，后面一直有，無窮無盡，永不重復，就是說在這串數(shù)字中，包含每種可能的組合，你的生日，儲物柜密碼，你的社保號碼，都在其中某處，如果把這些數(shù)字轉(zhuǎn)化為字母，就能得到所有的單詞無數(shù)種組合。

你嬰兒發(fā)出的第一聲音節(jié)，你心上人的名字，你一輩子從始至終的故事，我們做過或說過的每件事，宇宙中所有無限的可能，都在這個簡單的圓中，用這些信息做什么，它有什么用，取決于你們……

愿你在被數(shù)學困擾的日子里能常常想起本文。