文 |?胡嘉寧
學(xué)院君說(shuō):關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),過(guò)去我們?cè)?jīng)分享過(guò)許多文章,其中就包括一個(gè)爸爸向孩子解釋關(guān)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一些問(wèn)題,今天我們分享的是一個(gè)年僅16歲的高中生,他眼中對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的理解,希望對(duì)大家有所啟發(fā)。
*本文均為他本人所寫,未做刪減。
如果有人不相信數(shù)學(xué)是簡(jiǎn)單的,那是因?yàn)樗麄儧](méi)有意識(shí)到人生有多復(fù)雜。
——馮?諾依曼
著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家
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諾貝爾為什么沒(méi)有數(shù)學(xué)獎(jiǎng)?
諾貝爾曾有一個(gè)比他小13歲的女友,后來(lái)他的女友和一個(gè)數(shù)學(xué)家私奔了,諾貝爾對(duì)此事一直耿耿于懷,后來(lái)一生未曾結(jié)婚,所以不設(shè)數(shù)學(xué)獎(jiǎng)?!@只是個(gè)傳聞。
真正的原因是:在諾貝爾那個(gè)時(shí)代,數(shù)學(xué)還不是主要的學(xué)科,數(shù)學(xué)還沒(méi)有得到重大的發(fā)展。
1950年,納什在28頁(yè)的博士論文中提出一個(gè)重要概念:“納什均衡”,成為博弈論的重要突破。1994年,他和其他兩位博弈論學(xué)家共同獲得了諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。
納什最重要的數(shù)學(xué)成就是在微分幾何和偏微分方程的領(lǐng)域,一位著名幾何學(xué)家評(píng)價(jià)到:“他在幾何學(xué)所做的,從我看來(lái),比起他在經(jīng)濟(jì)學(xué)所做的無(wú)可比擬地偉大得多,相差很多個(gè)數(shù)量級(jí)。”
諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)從1969年至2010年,共34屆,獲獎(jiǎng)?wù)?1人,除了哈耶克,幾乎全都用到了數(shù)學(xué)工具;一半以上獲獎(jiǎng)?wù)哂猩詈駭?shù)學(xué)功底,還有少數(shù)本身就是數(shù)學(xué)家。
大部分諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)、化學(xué)獎(jiǎng)、醫(yī)學(xué)獎(jiǎng)得主也有著數(shù)學(xué)功底。
現(xiàn)在數(shù)學(xué)被稱為“科學(xué)之王”。
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學(xué)校里的大部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)
其實(shí)都沒(méi)有用
首先我們得承認(rèn),我們?cè)趯W(xué)校里學(xué)到的大部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí),其實(shí)都是沒(méi)有用的。回想一下你的生活,你買菜的時(shí)候真的用上一元二次方程了嗎?你這輩子有幾次用到了余切函數(shù)和微積分呢?
我國(guó)的數(shù)學(xué)教學(xué)方法也有很大的問(wèn)題。如陳方正在《繼承與叛逆:現(xiàn)代科學(xué)為何出現(xiàn)于西方》中所言:
中國(guó)與西方數(shù)學(xué)的根本差別,即前者只重程序(即所謂‘法’),而不講究直接、詳細(xì)、明確的證明(即所謂‘義’)
雜志《新科學(xué)家》中有一句話:
Mathematics is a discovery rather than an invention
數(shù)學(xué)不是發(fā)明而是發(fā)現(xiàn)
數(shù)學(xué)家惲之瑋在一次采訪中說(shuō):
奧數(shù)的答案是知道的,數(shù)學(xué)科研的答案是不知道的,是探索的過(guò)程。真正的數(shù)學(xué)并不是在規(guī)定的時(shí)間快速給出答案。
2005年,溫家寶總理在看望錢學(xué)森的時(shí)候,錢老感慨說(shuō):“這么多年培養(yǎng)的學(xué)生,還沒(méi)有哪一個(gè)的學(xué)術(shù)成就,能夠跟民國(guó)時(shí)期培養(yǎng)的大師相比?!卞X老又發(fā)問(wèn):“為什么我們的學(xué)??偸桥囵B(yǎng)不出杰出的人才?”
被認(rèn)作中國(guó)十大國(guó)際友人的英國(guó)人李約瑟,他所提出的“李約瑟難題”,從開始至現(xiàn)在,由中國(guó)到世界,都充滿了爭(zhēng)論。其主題是:“盡管中國(guó)古代對(duì)人類科技發(fā)展做出了很多重要貢獻(xiàn),但為什么科學(xué)和工業(yè)革命沒(méi)有在近代的中國(guó)發(fā)生?”
錢學(xué)森之問(wèn)與李約瑟難題一脈相承,都是對(duì)中國(guó)科學(xué)的關(guān)懷。
學(xué)了也用不到
為什么要學(xué)數(shù)學(xué)呢
數(shù)學(xué)是一種語(yǔ)言,數(shù)學(xué)符號(hào)于數(shù)學(xué)家就相當(dāng)于代碼于程序員。
倫敦大學(xué)的計(jì)算神經(jīng)科學(xué)家和物理學(xué)家卡爾?弗里斯頓說(shuō):
數(shù)學(xué)具備簡(jiǎn)潔、直接和齊整的特性,所以如果你把它看作一種語(yǔ)言的話,它比其他任何語(yǔ)言都更適合用來(lái)描述這個(gè)世界。
從海豚到菌類生物,在進(jìn)化的過(guò)程中,都在用數(shù)學(xué)的方式理解這個(gè)世界,解讀它的規(guī)則和邏輯,以便自己能夠存活下來(lái)。
數(shù)學(xué)家斯坦尼斯拉斯?德阿納,做了一個(gè)實(shí)驗(yàn),他邀請(qǐng)15個(gè)職業(yè)數(shù)學(xué)家和15個(gè)非數(shù)學(xué)領(lǐng)域的學(xué)者,邊思考問(wèn)題,邊接受腦部掃描,然后他發(fā)現(xiàn),當(dāng)數(shù)學(xué)們思考數(shù)學(xué)問(wèn)題的時(shí)候,他們腦部的某些區(qū)域是有特殊連接的。
也就是說(shuō),數(shù)學(xué)家一旦學(xué)會(huì)了數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言之后,就不會(huì)用普通的語(yǔ)言去思考數(shù)學(xué)問(wèn)題了。
舉個(gè)簡(jiǎn)單的例子:老板對(duì)你說(shuō):“你這周遲到很多!”,你心里肯定想:媽的,我這周就遲到3次,哪有很多呀,小張也遲到3次呀!
“很多”和“3”,定性和定量的分野。普通人眼里的機(jī)會(huì),在數(shù)學(xué)眼里是概率。
這里所謂的“語(yǔ)言”只是個(gè)類比,哈佛認(rèn)知科學(xué)家戴維?帕金斯稱其為思維程序(Mindware),Kenneth Craik稱其為心智模式(Mental Model),查理芒格稱其為思維模型(Thinking Model)
而我們大部分人的工作與數(shù)學(xué)無(wú)關(guān),所以什么樣的數(shù)學(xué)知識(shí)可以幫助我們呢?
數(shù)學(xué)知識(shí)的四個(gè)象限
著名數(shù)學(xué)家喬丹?艾倫伯格把數(shù)學(xué)知識(shí)分成了四個(gè)象限:
1、在簡(jiǎn)單-淺顯這個(gè)象限,我們有1+2=3這樣比較基礎(chǔ)的算術(shù)題,內(nèi)容也不那么深?yuàn)W。還比如三角函數(shù)sin2x=2sinxcosx,這些數(shù)學(xué)知識(shí)看起來(lái)復(fù)雜,但它們?cè)诟拍钌喜](méi)有多大的理解難度。
2、在復(fù)雜-淺顯這個(gè)象限,我們有兩位數(shù)的乘法、復(fù)雜定積分的運(yùn)算。如果有了計(jì)算機(jī),你其實(shí)并不需要耗費(fèi)時(shí)間計(jì)算那么多位乘法運(yùn)算,我們?cè)趯W(xué)校要花費(fèi)大量的時(shí)間學(xué)習(xí)解題技巧,其實(shí)對(duì)于理解數(shù)學(xué)的美并沒(méi)有幫助。
相反可能還讓我們對(duì)數(shù)學(xué)倒了胃口。即使解決了這些問(wèn)題,我們也不會(huì)因此更加了解我們所在的這個(gè)世界。
2、在復(fù)雜-深?yuàn)W這個(gè)象限,則是專業(yè)從事數(shù)學(xué)研究的人需要投入大量時(shí)間的地方。這里有眾多大名鼎鼎的定理和猜想,黎曼假設(shè),費(fèi)馬大定理,龐加萊猜想,哥德爾定理等。
這些定理內(nèi)涵豐富,具有重要的意義,表現(xiàn)出令人窒息的美感,這些定理殘酷無(wú)情又無(wú)懈可擊,人們圍繞他們寫就了一本本專著。我等普通人可能只能在門口瞄一眼,里面的世界我們根本不清楚。
前三個(gè)象限的數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)我們來(lái)說(shuō)或者太容易,或者太難,或者太繁瑣,都不需要我們特別留意。
最值得學(xué)習(xí)的是簡(jiǎn)單-深?yuàn)W這個(gè)象限的數(shù)學(xué)知識(shí)。這些知識(shí)都是入門的知識(shí),但卻違反了我們的直覺(jué),需要我們更縝密的推理,如對(duì)隨機(jī)性的理解、對(duì)回歸4的理解等。
這些數(shù)學(xué)思想都與我們的生活產(chǎn)生直接聯(lián)系,為我們帶來(lái)益處,其應(yīng)用將遠(yuǎn)遠(yuǎn)突破我們的數(shù)學(xué)的既有理解,它們是常備工具,只要應(yīng)用得當(dāng),就可以避免我們犯錯(cuò)。
吳軍博士在《數(shù)學(xué)之美》中這樣描述:
牛頓曾經(jīng)說(shuō)過(guò),“真理在形式上從來(lái)都是簡(jiǎn)單的,而不是復(fù)雜和含混不清的”,數(shù)學(xué)之美也體現(xiàn)在這里。如果你能拿數(shù)學(xué)工具來(lái)解決問(wèn)題,那么不管你的方法多復(fù)雜,這里面的基本思想都應(yīng)格是簡(jiǎn)單的。
查理芒格也說(shuō)過(guò):
最好且最實(shí)用的智慧是最基本的學(xué)術(shù)智慧,但有一個(gè)相當(dāng)重要的前提:必須從多元學(xué)科的角度來(lái)思考。
在生活中應(yīng)時(shí)常運(yùn)用大學(xué)一年級(jí)基礎(chǔ)學(xué)科中所有易學(xué)好懂的概念,如果達(dá)到自如運(yùn)用的境界,就能提出解決問(wèn)題的多種方法。
數(shù)學(xué)是認(rèn)識(shí)世界的思考工具
克勞塞維茨說(shuō)過(guò):“數(shù)學(xué)就是常識(shí)的衍生物?!?/span>
數(shù)學(xué)如果脫離了常識(shí)的幫助,就變成了循規(guī)蹈矩地生搬書本知識(shí),不會(huì)產(chǎn)生任何有益的結(jié)果。
正如1947年馮·諾依曼在他的論文《數(shù)學(xué)家》(The Mathematician)中發(fā)出的警告:
如果數(shù)學(xué)這門學(xué)科逐步偏離現(xiàn)實(shí)生活的經(jīng)驗(yàn),并且漸行漸遠(yuǎn),以至于第二代和第三代數(shù)學(xué)人無(wú)法在“現(xiàn)實(shí)生活”中萌生某種想法并直接受到啟迪,那么我們將面非常嚴(yán)重的威脅。
它會(huì)在唯美的道路上越走越遠(yuǎn),演變成“為了藝術(shù)而藝術(shù)”,如果周圍的相關(guān)學(xué)科仍然與經(jīng)驗(yàn)有著密切的聯(lián)系,或者某位鑒賞能力超強(qiáng)的人可以對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生影響,那么發(fā)生這種情況未必是件壞事。
但是數(shù)學(xué)這種發(fā)展勢(shì)頭幾乎沒(méi)有受到任何阻力,而且在偏離經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程中,分解成多個(gè)不起眼的分支,最終局面有可能是變得支離破碎、雜亂無(wú)章,這相當(dāng)危險(xiǎn)。
換句話說(shuō),在遠(yuǎn)離經(jīng)驗(yàn)的哺乳,或者說(shuō)“抽象研究”大量“近親繁殖”之后,數(shù)學(xué)將面臨墮落的危險(xiǎn)。
很多人恐懼?jǐn)?shù)學(xué)是因?yàn)楸粚W(xué)校的那些數(shù)學(xué)題打蒙了。但不要把應(yīng)試數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)思想混為一談,在真實(shí)世界中,用數(shù)學(xué)思想思考問(wèn)題,絕大多數(shù)情況下用不到復(fù)雜的計(jì)算技能。
就認(rèn)識(shí)世界而言,數(shù)學(xué)應(yīng)是一個(gè)思考工具,表達(dá)工具,而不是計(jì)算工具。
如保羅·洛克哈特在《一個(gè)數(shù)學(xué)家的嘆息》中所言:
數(shù)學(xué)的本質(zhì)是表達(dá)的藝術(shù)。數(shù)學(xué)是在我們并不完美的生活基礎(chǔ)上,一種抽象的完美的表達(dá)方式,而我們?cè)诓煌昝赖氖澜缰?,想要?yīng)用數(shù)學(xué)公式時(shí)發(fā)現(xiàn)對(duì)不上號(hào),便不會(huì)去用了。
伯特蘭·羅素在《數(shù)學(xué)研究》中說(shuō):
學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的精髓時(shí),不能只抱著應(yīng)付差事的心理,而應(yīng)該把這些知識(shí)融入日常思維,并通過(guò)各種激勵(lì)手段,使它們反復(fù)出現(xiàn)在你的腦海里。
亞伯拉罕?瓦爾德(Abraham Wald)的一個(gè)故事能精彩地演繹這個(gè)過(guò)程:
在第二次世界大戰(zhàn)期間,美國(guó)軍方在哥倫比亞大學(xué)建立了一個(gè)秘密研究小組,叫統(tǒng)計(jì)研究小組,它的任務(wù)是組織美國(guó)的統(tǒng)計(jì)學(xué)家為打贏二戰(zhàn)服務(wù)。小組中牛人無(wú)數(shù),但是天賦最高是一位叫亞伯拉罕?瓦爾德的數(shù)學(xué)家。
這時(shí)候問(wèn)題來(lái)了,美國(guó)軍方為了不讓自己的飛機(jī)被敵人的戰(zhàn)斗機(jī)擊落,需要給飛機(jī)裝上裝甲。但是裝甲會(huì)增加飛機(jī)的重量,這樣飛機(jī)的機(jī)動(dòng)性就會(huì)減弱,還會(huì)消耗更多的燃油。所以,問(wèn)題就是,怎樣在防御性能和飛行性能之間找一個(gè)平衡點(diǎn),在哪里加強(qiáng)裝甲防護(hù)是最合適的。
軍方為數(shù)學(xué)家提供了很多數(shù)據(jù),美軍飛機(jī)跟敵機(jī)交火后會(huì)留下很多彈孔。軍方發(fā)現(xiàn)機(jī)身上的彈孔比引擎上的彈孔更多。因此,軍方認(rèn)為,最應(yīng)該加強(qiáng)防御的是飛機(jī)的機(jī)身。
瓦爾德給出的答案與軍方的想法大不一樣。瓦爾德認(rèn)為,需要加裝甲的地方不應(yīng)該是彈孔多的部位,而是彈孔少的部位,也就是飛機(jī)的引擎。
為什么會(huì)是這樣的呢?從理論上講,飛機(jī)各個(gè)部位中彈的概率是一樣的。那么為什么返航的飛機(jī)身上的彈孔比引擎上的彈孔更多呢?也就是說(shuō),引擎上本來(lái)應(yīng)該有的彈孔去哪兒了?
瓦爾德認(rèn)為,這是因?yàn)橐姹粨糁械娘w機(jī)都?jí)嫐Я?,回?lái)的飛機(jī),機(jī)身上盡管留下了很多彈孔,卻仍然能經(jīng)住打擊,所以才能安全回航。
數(shù)學(xué)家將其稱之為“幸存者偏差”,也就是說(shuō),你只看到幸存下來(lái)的,卻沒(méi)有看到那些已經(jīng)死亡的。
瓦爾德運(yùn)用這些簡(jiǎn)單-深?yuàn)W的數(shù)學(xué)知識(shí),就像戴上一副X射線眼鏡通過(guò)現(xiàn)實(shí)世界錯(cuò)綜復(fù)雜的表面現(xiàn)象看清本質(zhì)。
數(shù)學(xué)是為了人類自身
的生存而發(fā)展出的能力
自然界是復(fù)雜而充滿未知的。我們周圍的環(huán)境變化莫測(cè):什么時(shí)候會(huì)被襲擊,什么時(shí)候去捕獵,遇到危險(xiǎn)怎樣找到最快的路徑逃跑?哪里最有可能找到食物?
其實(shí)我們無(wú)時(shí)無(wú)刻都在用數(shù)學(xué)計(jì)算,只不過(guò)有時(shí)是不自知的。比如你在開車的時(shí)候,大腦就進(jìn)行了非常復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算。我們用數(shù)學(xué)來(lái)預(yù)測(cè)自己可能會(huì)遇到什么,再通過(guò)跟現(xiàn)實(shí)的碰撞,不停的修正,重新預(yù)測(cè)。
數(shù)學(xué)的運(yùn)算模式可以幫助我們?cè)谖锢硎澜缁钕聛?lái),但這并不意味著發(fā)生在我們腦海里的計(jì)算一直是對(duì)的。
基思?斯坦諾維奇與其長(zhǎng)期合作者理查德?韋斯特提出了著名的“雙系統(tǒng)理論”:
1、系統(tǒng)1就像大腦的自動(dòng)反應(yīng)模式,系統(tǒng)1的運(yùn)行是無(wú)意識(shí)且快速的,不怎么費(fèi)腦力,沒(méi)有感覺(jué),完全處于主控制狀態(tài)。
2、系統(tǒng)2將注意力轉(zhuǎn)到需要費(fèi)腦力的大腦活動(dòng)上來(lái),例如復(fù)雜的計(jì)算,理性思考,系統(tǒng)2的運(yùn)行通常與行為、選擇和專注等主觀體驗(yàn)相關(guān)聯(lián)。
人大部分時(shí)間都在使用系統(tǒng)1思考,很少使用系統(tǒng)2思考。
蕭伯納說(shuō):大多數(shù)人,每年最多思考兩三次。
300年前,在著名的南海泡沫事件中,人類有史以來(lái)最聰明的天才之一,牛頓,虧掉了兩萬(wàn)英鎊,據(jù)說(shuō)相當(dāng)于現(xiàn)在的一億美金。
牛頓曾因而感嘆:“我能算準(zhǔn)天體的運(yùn)行,卻無(wú)法預(yù)測(cè)人類的瘋狂。”
數(shù)學(xué)鍛煉的就是用系統(tǒng)2思考的能力,用理性來(lái)審視世界。
查理?芒格說(shuō):
如果你沒(méi)有把這些基本的,但有些不那么自然的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)概率方法變成你生活的一部分,那么在漫長(zhǎng)人生中,你們將會(huì)像一個(gè)踢屁股比賽中的獨(dú)腿人。
讓我們來(lái)做一道題感受一下:
假設(shè)有一個(gè)女性叫琳達(dá)(Linda),31歲,單身,一位直率又聰明的女性,主修哲學(xué)。在學(xué)生時(shí)代,他對(duì)歧視問(wèn)題和社會(huì)公正問(wèn)題較為關(guān)心,還參加了反核示威游行。
請(qǐng)你根據(jù)這些情況,評(píng)估一下對(duì)琳達(dá)的種種描述之中,各自的可能性大小,并給排個(gè)名:
1、琳達(dá)是個(gè)小學(xué)老師
2、琳達(dá)在書店工作,她還在學(xué)瑜伽
3、琳達(dá)積極參加女權(quán)運(yùn)動(dòng)
4、琳達(dá)是婦女選民聯(lián)盟成員
5、琳達(dá)是銀行出納
6、琳達(dá)是保險(xiǎn)推銷員
7、琳達(dá)是銀行出納,還積極參與女權(quán)運(yùn)動(dòng)。
我對(duì)你的具體排序并不太感興趣,我關(guān)心的是以下兩個(gè)選項(xiàng)是如何排列的:
(5)琳達(dá)是銀行出納
(7)琳達(dá)是銀行出納,還積極參與女權(quán)運(yùn)動(dòng)
實(shí)驗(yàn)結(jié)果是:幾乎所有受試者都認(rèn)為“琳達(dá)是銀行出納,還積極參與女權(quán)運(yùn)動(dòng)”的可能性比“琳達(dá)是個(gè)銀行出納員”要高。
對(duì)于任何概率,同等情況下條件越多概率越小。他們都忽略了概率中集合論的基本問(wèn)題:兩個(gè)集的交集不可能大于其中任何一個(gè)集。
這個(gè)就是著名的“琳達(dá)問(wèn)題”,如果你答錯(cuò)了,也不要自責(zé),斯坦福大學(xué)決策科學(xué)專業(yè)的博士研究生,也有85%的人答錯(cuò)。
再來(lái)一題(來(lái)自《黑天鵝》):
塔勒布在投資研討會(huì)說(shuō):“我相信下個(gè)星期市場(chǎng)略微上漲的概率很高,上漲概率大概70%?!钡麉s大量賣空標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)期貨,賭市場(chǎng)會(huì)下跌。
他的意見是:市場(chǎng)上漲的可能性比較高(我看好后市),但最好是賣空(我看壞結(jié)果),因?yàn)槿f(wàn)一市場(chǎng)下跌,它可能跌幅很大。
分析如下:假使下個(gè)星期市場(chǎng)有70%的概率上漲,30%的概率下跌。但是如果上漲只會(huì)漲1%,下跌則可能跌10%。未來(lái)預(yù)期結(jié)果是:70%×1%+30%×(-10%)=-2.3%,因此應(yīng)該賭跌,賣空股票盈利的機(jī)會(huì)更大。
如芒格所言,巴菲特每天做的,都是算這個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)問(wèn)題。與其說(shuō)是一種數(shù)學(xué)能力,不如說(shuō)是一種思維模式。知道容易,做到極難。
概率有時(shí)候顯得“反直覺(jué)”。
堅(jiān)信概率,堅(jiān)持按照優(yōu)勢(shì)概率下注,哪怕違反直覺(jué),哪怕屢屢受挫也不更改人生下注的原則,這就是贏家的秘密。
數(shù)學(xué)教會(huì)我們的一個(gè)基本道理:用理性戰(zhàn)勝本能!
克萊因說(shuō):數(shù)學(xué)是一種理性的精神,使人類的思維得以運(yùn)用到最完美的程度。
舊石器時(shí)代的智人學(xué)會(huì)了利用石頭工具,軸心時(shí)代的新人類學(xué)會(huì)了一種理性工具。數(shù)學(xué)工具就好比舊石器時(shí)代的石頭工具。
有一次,我在網(wǎng)上看到一個(gè)問(wèn)題大概是“有哪些讓你感嘆「寫出這種句子的人,我十輩子都追不上了」的句子?”。
我想起了約翰·納什的那句話:
“從精神病人回歸為一個(gè)理性人的快樂(lè),和身體有病然后恢復(fù)健康的快樂(lè)還是不能相比的?!?/span>
數(shù)學(xué)其實(shí)很簡(jiǎn)單
馮?諾依曼說(shuō):
“如果有人不相信數(shù)學(xué)是簡(jiǎn)單的,那是因?yàn)樗麄儧](méi)有意識(shí)到人生有多復(fù)雜”
美劇《疑犯追蹤》中有一位學(xué)生問(wèn)芬奇:”學(xué)這些東西有什么用?我們什么時(shí)候會(huì)用到它?”
芬奇答道:
π,圓周長(zhǎng)與其直徑之比,這是開始,后面一直有,無(wú)窮無(wú)盡,永不重復(fù),就是說(shuō)在這串?dāng)?shù)字中,包含每種可能的組合,你的生日,儲(chǔ)物柜密碼,你的社保號(hào)碼,都在其中某處,如果把這些數(shù)字轉(zhuǎn)化為字母,就能得到所有的單詞無(wú)數(shù)種組合。
你嬰兒發(fā)出的第一聲音節(jié),你心上人的名字,你一輩子從始至終的故事,我們做過(guò)或說(shuō)過(guò)的每件事,宇宙中所有無(wú)限的可能,都在這個(gè)簡(jiǎn)單的圓中,用這些信息做什么,它有什么用,取決于你們……
愿你在被數(shù)學(xué)困擾的日子里能常常想起本文。
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